一. 填空题
1. 在齐次线性方程组Am×nx = 0中, 若秩(A) = k且h1, h2, …, hr是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.
解.
, 当
时, 方程组只有零解.
2. 若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.
解. 假设该方程组为Am×nx = b, 矩阵的秩
.
当
, 方程组有惟一解; 当
, 方程组有无穷多解.
3. 齐次线性方程组
只有零解, 则k应满足的条件是______.
解.
,
时, 方程组只有零解.
4. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x
= 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.
解. 因为矩阵A的秩
, 所以
, A*x
= 0的基础解系所含解向量的个数为4-0 = 4.
5. 设
, 则Ax = 0的通解为______.
解.
, 基础解系所含解向量个数为3-2=1.
, 取
. 基础解系为(1, 1,
1)T.
Ax = 0的通解为k(1, 1, 1)T, k为任意常数.
6. 设a1, a2, …as是非齐次线性方程组Ax = b的解, 若C1a1 + C2a2 + … + Csas也是Ax =
b的一个解, 则C1 + C2 + … + Cs = ______.
解. 因为
(C1a1 + C2a2 + … + Csas) = b, 所以
,
.
7. 方程组Ax = 0以
为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.
解. 方程组Ax = 0的基础解系为
, 所以
, 即
,
= 1.
所以
, 假设
.
由
, 得
由
, 得
取
. 所以
,
(其中
为任意常数).
8. 设Ax = b, 其中
, 则使方程组有解的所有b是______.
解.
,
, 所以
= 3.
因为 Ax = b有解, 所以
所以
, 其中
为任意常数.
9. 设A, B为三阶方阵, 其中
,
, 且已知存在三阶方阵X, 使得
, 则k = ___________.
解. 由题设
, 又因为
,
所以
,
即
,
.