一. 填空题

1. 在齐次线性方程组A_m×nx = 0中, 若秩(A) = k且h₁, h₂, …, h_r是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解.

解. , 当 时, 方程组只有零解.

2. 若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.

解. 假设该方程组为A_m×nx = b, 矩阵的秩 .

       当 , 方程组有惟一解;  当 , 方程组有无穷多解.

3. 齐次线性方程组   只有零解, 则k应满足的条件是______.

解.  ,  时, 方程组只有零解.

4. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A^*x = 0(A^*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.

解. 因为矩阵A的秩 , 所以 , A^*x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4.

5. 设 , 则Ax = 0的通解为______.

解.

    , 基础解系所含解向量个数为3－2=1.

    ,  取 . 基础解系为(1, 1, 1)^T.

     Ax = 0的通解为k(1, 1, 1)^T, k为任意常数.

6. 设a₁, a₂, …a_s是非齐次线性方程组Ax = b的解, 若C₁a_{1 +} C₂a₂ + … + C_sa_s也是Ax = b的一个解, 则C_{1 +} C₂ + … + C_s = ______.

解. 因为 (C₁a_{1 +} C₂a₂ + … + C_sa_s) = b, 所以 , .

7. 方程组Ax = 0以 为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.

解. 方程组Ax = 0的基础解系为 , 所以 , 即 ,  = 1.

    所以  ,  假设 .

    由  , 得

    由  , 得

取  . 所以 ,    (其中 为任意常数).

8. 设Ax = b, 其中 , 则使方程组有解的所有b是______.

解. ,  , 所以 = 3.

因为  Ax = b有解, 所以

所以   , 其中 为任意常数.

9. 设A, B为三阶方阵, 其中 , , 且已知存在三阶方阵X, 使得 , 则k = ___________.

解. 由题设  , 又因为 ,

所以 ,   即 , .