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线性方程组计算证明题
2005年07月22日15:52:56 网易教育 潘正义

1. 求方程组   的通解, 并求满足方程组及条件 的全部解.

.  将条件方程与原方程组构成矩阵

i. 条件方程与原方程组兼容, 即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;

ii. , 方程组有解. 齐次方程组的基础解系含解向量的个数为 ;

iii. 齐次方程的基础解系:

基础解系为:

iv. 非齐次方程的通解:

所以全部解为

2. 设有线性方程组 , m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.

.

i. , 方程组有惟一解;

ii. , 方程组无解;

iii. , 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为

齐次方程组: 所以 .

. 基础解系解向量为: .

非齐次方程组: 所以 .

. 非齐次方程特解为: .

通解为:  

3. l为何值时, 线性方程组 有解, 并求出解的一般形式.

.

iii. , 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为

齐次方程组: ,

. 基础解系解向量为: .

非齐次方程组:

. 非齐次方程特解为: .

通解为:  

4. 已知 , , .

i. a, b 为何值时, b不能表示成 的线性组合.

ii. a, b 为何值时, b 的惟一线性表示, 并写出该表示式.

. 假设 , 求解方程组, .

i. , , 方程组无解, b不能表示成 的线性组合;

  , , 方程组有无穷多解, b有无穷多种方法可表示成 的线性组合.

ii. , , 方程组有惟一解, b能表示成 的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组 ,

解得:   , 表示式为 .

5. 知方程组

同解, 试确定a, b, c.

. 在第二个方程组中求一组特解. . 将该组特解代入第一个方程组中得: .

6. 已知下列非齐次线性方程组( I )( II )

( I )       ( II )

i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;

ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t为何值时, 方程组( I )( II )同解.

. i. 由第一个方程组:

, 齐次方程基础解系所含解向量个数为: .

齐次方程组: . .

基础解系为: .

非齐次方程组: . .

所以第一个方程组的通解为:

ii. 代入第二个方程组:

.

7. Am×n矩阵, Rm×n矩阵, x = , Bm×m矩阵, 求证: B可逆且BA的行向量都是方程组 的解, A的每个行向量也都是该方程组的解.

. 假设 , 其中 A的行向量.

=

因为BA的行向量都是方程组 的解, 所以:   .

所以 .

因为B可逆, 所以 . A的每个行向量为R x = 0的解.

8. Am×n矩阵, 秩为m; Bn×(nm)矩阵, 秩为nm; 又知AB = 0, a是满足条件 的一个n维列向量. 证明: 存在惟一的一个nm维列向量b使得 .

. 因为 , 所以方程组 的基础解系所含解向量的个数为 .

假设 n×(nm)矩阵, . 其中 B的列向量 .

因为AB = 0, 所以  , B的列向量都是 的解. 又因为 , 所以 的基础解系.

所以满足 的任意向量都是 的惟一线性组合, 即存在惟一的一组数 , 使 

, .

9. 矩阵 , 证明: 有解的充要条件是 , .

. 充分性:

假设 的系数矩阵为A, 增广矩阵为 .

考察:  I.             II.

因为  , , 所以(I)(II)为同解方程组, 所以 . . 所以 有解.

必要性:

考察                     (1)

                         (2)

                          (3)

即要证明: (1)有解, (2)的解必为(3)的解.

假设  y(1)的解, . 取转置, . 又设x(2)的解, .

              

所以x(3)的解.

10. An阶矩阵, A ¹ 0. 证明:存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是 .

. 必要性:

(反证法) 反设 , 存在. 所以当AB = 0, 二边右乘 , 和存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0矛盾. 所以 ;

充分性:

, 则方程组Ax = 0有非零解 . 构造矩阵

             

B ¹ 0, AB = 0.

11. 假设Am×n阶矩阵,若对任意n维向量x, 都有 , A = 0.

. 假设  , A的列向量 . , 只有第i个分量为1, 其余都为0.

            

所以  A = 0.

12. 假设 . 如果h是方程组 的一个解, 试求 的通解.

. 代入 , 得到 .

i.

于是  , 基础解系所含解向量个数为: .

 齐次方程:  

, 解向量为:

, 解向量为:

所以通解为

i.

于是   , 基础解系所含解向量个数为: .

 齐次方程:  

, 解向量为:

所以通解为

13. 假设 . 如果矩阵方程 有解, 但解不惟一, 试确定参数a.

.

  , 对于B的任一列向量, 都有  , 所以矩阵方程 有解, 但解不惟一.

14. 假设 是非齐次方程组 的两个不同解(Am×n矩阵), x是对应的齐次线性方程组 的一个非零解, 证明:

i. 向量组 线性无关;

ii. 则向量组 线性相关.

. i. , , , 所以 是齐次方程 的非零解.

假设       

      

        



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